甲某11岁时父亲因病去世，母亲又组建了家庭。继父因不能生育，视甲某如亲生儿子，日常生活中的吃穿用大都由母亲和继父来负担。甲某长大成人结婚生子后，继父和母亲的关系开始恶化，最终解除了婚姻关系。继父年老患病后，想起当初自己对甲某的付出，希望他能负担一些自己的生活费和医疗费，但甲某坚决不同意，请问甲某对继父有赡养义务吗？